Algèbre linéaire Exemples

Résoudre en utilisant l''inverse d''une matrice x+y+z+t=4 , 2x-y-z-t=-1 , x+y-2z=0 , 3x+3t=6
, , ,
Étape 1
Déterminez le à partir du système d’équations.
Étape 2
Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Déterminez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments . S’il n’y a aucun élément , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne par son cofacteur et ajoutez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
Étape 2.1.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position sur le tableau de signes.
Étape 2.1.1.3
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.1.4
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.1.5
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.1.6
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.1.7
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.1.8
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.1.9
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.1.10
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.1.11
Additionnez les termes entre eux.
Étape 2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments . S’il n’y a aucun élément , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne par son cofacteur et ajoutez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
Étape 2.1.4.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position sur le tableau de signes.
Étape 2.1.4.1.3
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.4.1.4
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.4.1.5
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.4.1.6
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.4.1.7
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.4.1.8
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.4.1.9
Additionnez les termes entre eux.
Étape 2.1.4.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.4.2.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.4.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.4.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.4.3.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.4.3.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.4.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.4.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.4.4.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.4.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.5.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.4.5.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.4.5.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.4.5.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.4.5.2
Additionnez et .
Étape 2.1.4.5.3
Additionnez et .
Étape 2.1.5
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1
Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments . S’il n’y a aucun élément , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne par son cofacteur et additionnez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.1.1
Utilisez le tableau de signes correspondant.
Étape 2.1.5.1.2
Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position sur le tableau de signes.
Étape 2.1.5.1.3
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.5.1.4
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.5.1.5
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.5.1.6
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.5.1.7
Le mineur pour est le déterminant dont la ligne et la colonne sont supprimées.
Étape 2.1.5.1.8
Multipliez l’élément par son cofacteur.
Étape 2.1.5.1.9
Additionnez les termes entre eux.
Étape 2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.5.3.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.3.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.5.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 2.1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.5.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.5.5.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.5.5.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.5.5.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.5.5.3
Additionnez et .
Étape 2.1.6
Simplifiez le déterminant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.6.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.6.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.6.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.6.2
Additionnez et .
Étape 2.1.6.3
Additionnez et .
Étape 2.1.6.4
Additionnez et .
Étape 2.2
Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.
Étape 2.3
Définissez une matrice où la moitié de gauche est la matrice d’origine et la moitié de droite est la matrice identité.
Étape 2.4
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.1.2
Simplifiez .
Étape 2.4.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.2.2
Simplifiez .
Étape 2.4.3
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.3.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.3.2
Simplifiez .
Étape 2.4.4
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.4.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.4.2
Simplifiez .
Étape 2.4.5
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.5.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.5.2
Simplifiez .
Étape 2.4.6
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.6.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.6.2
Simplifiez .
Étape 2.4.7
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.7.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.7.2
Simplifiez .
Étape 2.4.8
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.8.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.8.2
Simplifiez .
Étape 2.4.9
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.9.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.9.2
Simplifiez .
Étape 2.4.10
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.10.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.10.2
Simplifiez .
Étape 2.5
La moitié droite de la forme d’échelon en ligne réduite est l’inverse.
Étape 3
Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.
Étape 4
Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à . .
Étape 5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est et la deuxième matrice est .
Étape 5.2
Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.
Étape 5.3
Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.
Étape 6
Simplifiez les côtés gauche et droit.
Étape 7
Déterminez la solution.